Cournot模型

在一个市场上只有企业 1 和企业 2。任意企业 $i$ 选择产量 $q_{i}$ ，边际成本为 $c$ ；市场反需求函数为 $P = a - b Q$ ，其中 $Q = q_{1} + q_{2}$ 。

串谋

企业 1 和 2 串谋的利润最大化问题为

max_{Q} Π = π_{1} + π_{2} = (a - b Q - c) Q

F.O.C.

\frac{\partial Π}{\partial Q} = - b Q + (a - Q - c) = 0 ⟹ Q^{*} = \frac{a - c}{2 b}

因此，对于任意企业 $i$ ，最优产量为 $q^{m} = \frac{a - c}{4 b}$ ，最优利润为 $π^{m} = \frac{(a - c)^{2}}{8 b}$

几何方法： $a - c$ 是定价空间， $2 b$ 是 $M R$ 曲线的斜率，从而得到垄断产量。

纳什均衡

企业 $i$ 的利润最大化问题为

max_{q_{i}} π_{i} = [a - b (q_{i} + q_{j}) - c] q_{i}

F.O.C.

\frac{\partial π_{i}}{\partial q_{i}} = - b q_{i} + [a - (q_{i} + q_{j}) - c] = 0 ⟹ q_{i} = \frac{a - c - b q_{j}}{2 b}

令 $q_{i} = q_{j} = q$ 得解。

因此，对于任意企业 $i$ ，最优产量为 $q^{c} = \frac{a - c}{3 b}$ ，最优利润为 $π^{c} = \frac{(a - c)^{2}}{9 b}$

几何方法：对于企业 $i$ ，剩余需求曲线左移 $q_{j}$ 等价于下移 $b q_{j}$ ，定价空间变为 $a - c - b q_{j}$ ， $2 b$ 是 $M R$ 曲线的斜率，从而得到反应函数； $q_{i}$ 等于 $M R$ 与 $c$ 交点横坐标的一半， $q_{j}$ 等于需求曲线与 $c$ 交点到剩余需求曲线与 $c$ 交点的距离，因此市场空间被三等分，每家企业各占三分之一。推广为 $n$ 个企业，剩余需求曲线左移 $n - 1$ 个企业的份额，企业 $i$ 的 $M R$ 曲线又将剩余需求一分为二，因此市场空间 $\frac{a - c}{b}$ 被分为 $n + 1$ 份，每家企业各占有 $\frac{a - c}{(n + 1) b}$

单独偏离

企业 $i$ 单独偏离的利润最大化问题为

max_{q_{i}} π_{i} = [a - (q_{i} + \frac{a - c}{4 b}) - c] q_{i}

F.O.C.

\frac{\partial π_{i}}{\partial q_{i}} = - q_{i} + [a - (q_{i} + \frac{a - c}{4 b}) - c] = 0 ⟹ q_{i} = \frac{3 (a - c)}{8 b}

因此，对于企业 $i$ ，最优产量为 $q^{d} = \frac{3 (a - c)}{8 b}$ ，最优利润为 $π^{d} = \frac{9 (a - c)^{2}}{64 b}$

几何方法：对于企业 $i$ ，剩余需求曲线左移 $\frac{a - c}{4 b}$ 等价于下移 $\frac{a - c}{4}$ ，定价空间变为 $\frac{3 (a - c)}{4}$ ， $2 b$ 是 $M R$ 曲线的斜率，从而得到最优产量。

非对称性

假设企业 1 的边际成本为 $c_{1}$ ，企业 2 的边际成本为 $c_{2}$

（直接利用几何方法，利润最大化问题略）

解得反应函数为

\begin{aligned} q_{1} & = \frac{a - c_{1} - b q_{2}}{2 b} \\ q_{2} & = \frac{a - c_{2} - b q_{1}}{2 b} \end{aligned}

最优产量为

\begin{aligned} q_{1}^{*} & = \frac{a - 2 c_{1} + c_{2}}{3 b} \\ q_{2}^{*} & = \frac{a - 2 c_{2} + c_{1}}{3 b} \end{aligned}

几何意义：企业 1 的定价空间压缩为 $a - c_{1} - (c_{1} - c_{2})$ ，企业 2 的定价空间压缩为 $a - c_{1} - (c_{2} - c_{1})$ 。以企业 1 为例，相较于对称情形要额外减去成本差值 $c_{1} - c_{2}$ ，如果 $c_{1} > c_{2}$ 则定价空间缩小、市场份额所需。因此，效率低的企业则市场份额低。

不确定性

假设企业 1 的边际成本为 $c$ ，企业 2 的边际成本为 ${c_{H}, c_{L}}$ ，企业 1 对企业 2 边际成本的信念为 $θ = P (c_{H})$ 以及 $1 - θ = P (c_{L})$

（直接利用几何方法，利润最大化问题略）

厂商 2 的反应函数为

\begin{aligned} q_{2} (c_{H}) & = \frac{a - c_{H} - b q_{1}}{2 b} \\ q_{2} (c_{L}) & = \frac{a - c_{L} - b q_{1}}{2 b} \end{aligned}

厂商 1 的利润最大化问题为

\begin{aligned} max_{p_{1}} & {a - b [q_{1} + E (q_{2})] - c} q_{1} \\ s.t. & E (q_{2}) = θ q_{2} (c_{H}) + (1 - θ) q_{2} (c_{L}) \end{aligned}

F.O.C.

\begin{aligned} - b q_{1} + {a - b [q_{1} + E (q_{2})] - c} & = 0 \\ q_{1} & = \frac{a - c - b E (q_{2})}{2 b} \end{aligned}

其中

\begin{aligned} E (q_{2}) & = θ q_{2} (c_{H}) + (1 - θ) q_{2} (c_{L}) \\ = \frac{a - [θ c_{H} + (1 - θ) c_{L}] - b q_{1}}{2 b} \end{aligned}

代入解得

q_{1}^{*} = \frac{a - 2 c + θ c_{H} + (1 - θ) c_{L}}{3 b}

几何意义：和非对称性的情形相似，定价空间压缩为 $a - c - (c - E (\cdot))$ ，其中 $c - E (\cdot)$ 为期望成本差额。